顶头上司布置了一个任务，但是想了很久却没有头绪，思考了很久好像有了一丝头绪但也不清楚该如何开始？有时候事情的发展遇到了瓶颈，抓耳挠腮也想不到有什么办法能够突破瓶颈？知道了第一性原理的重要性，但实际上并没有具体的方法，总是让理论飘在天上，无奈只能不了了之。

这上面列举的场景，代数等价思维模型都能很好的解决，而且有些问题可能是用代数等价没办法解决，但它也能让问题变得更加清晰明了，让你对问题有着更深层次的认识。

代数等价

代数等价实际上是数学领域的专有名词，原意表示代数的等价关系。而代数等价思维模型实际上就是利用其等价关系，将实际问题转化成数学问题，再利用数学方法分析解决问题的思维模型。

如何使用？

说是学习，更准确的不如说是复习，因为我们很早就已经接触过代数等价并且也使用过，只是很少有人能够真正的理解它。

我想大家小学都应该接触过应用题吧，应用题说白了就是给一些实际的案例描述，我们通过描述列等式求解得出答案的过程，其实做应用题就是使用代数等价思维模型解决问题的过程。但长大之后却很少见有人将生活上实际问题用做应用题的方式去思考。

现在让我们来回想一下小时候做应用题的时老师讲的方法，第一看问题，第二找已知，第三列等式，第四求解。其实这四个步骤也是代数等价在现实生活中解决问题的步骤。

这里举一个常见的互联网产品优化的例子，当产品第一个版本上线之后，产品团队接到了需要提升注册率的KPI，我们如何去做计划？

看问题

其实看问题就是找目标，我们首先要知道我们的目标是什么。很多时候目标是需要自己去寻找，生活上有个人目标，工作上有公司目标或团队目标。关于目标唯一可说的就是，有时候目标可能大且不具体，这时候是需要自己将目标进行拆分。但这个例子的目标非常明确，就是提升用户注册率。

找已知

找已知就是根据目标列举可能相关的因素，不同的目标对应着不同的影响因素而且影响大小也可能不同，这也是为什么看问题是第一步的原因，只有明确了目标，才能找到关键的影响因素。

在这里我们的目的是提高用户注册率，而它的影响因素可以通过注册率的定义得出，注册率 = 注册用户数 / 激活用户总数。这个例子只要到这一步就可以了。但有的朋友就会问，那会不会还有很多其他相关的因子没有想到或者漏掉之类的如何解决？通常在这一步，根据其定义或者找到最直接对应或关系最接近的影响因素就可以了，关于其它的一些可能潜在的影响因素，在下一步补充就可以了。

列等式

上面找到了两个影响因素，一是注册用户数，另一个激活用户总数。想要提升用户注册率，根据公式我们能得出一个结论，在激活用户总数一定的情况下，想要提升用户注册率只需要提升用户注册数就可以了。貌似这个结论是个没有用的空话。这时候我们需要继续将等式进行转化成对我们执行有意义的形态，这个过程就是代数等价的列等式。

注册这个操作并不是只有一个路径，通常应用的注册会有多种引导路径，而总用户注册数 = 路径 1 注册用户 + 路径 2 注册用户 + … + 路径 n 注册用户 = 路径 1 用户激活数 * 路径 1 用户注册率 + 路径 2 用户激活数 * 路径 2 用户注册率 + … + 路径 n 用户激活数 + 路径 n 用户注册率。更能得出，平均用户注册率 = 路径 n 注册率 相加 / 路径数。到目前为止，我们已经有了三个关于的公式了，但有时候却能列出更多的公式，如何确定该进入接下里的求解呢？这个程度是根据第一步的问题，如果列出的公式已经能够为问题做出一个比较明确的答复，就可以进入求解阶段了。如果还是没有明确的答复，则在思考一下是否漏掉了某些影响元素或尝试其它变形。

求解

根据上面的几个步骤，我们对于产品优化的思路大概已经比较明确了。优先查看产品注册路径的数量，然后算出每个路径的用户注册率，找到用户注册率最低的路径优先优化。如果是从该渠道进来的用户与目标用户重叠程度不高导致的注册率低，则需要调整该渠道的运营策略，如果是产品注册流程过长，中途很多用户跳出，则需要改进流程问题，如果是引导不够友好，则可以尝试更换几种引导方式，在进行检测。

其实这整个思考流程就是增长骇客或策略型产品经理的工作流程，这里只是捡重点说，而整个过程实际上就是将代数等价的思维模型运用到解决实际问题过程。有兴趣的可以对这两个职业进行进一步的搜索，大家可能会有更深刻的体会。

总结

代数等价是数学领域的专有名词，原指代数的等价关系，而也正是因为等价性，所以现实中的很多问题都可以使用该思维模型进行分析，就像小时候的应用题一样，步骤包括4步，看问题，找已知，列等式，求解。小时候做应用题都可以做，但真正在实际生活中缺忘记了这个非常好用的工具，这也算是目前教育的一种无奈吧。

代数等价最强的用处有两点，首先它能找到解决问题的具体方法和着力点。找已知的过程中实际就是确定关键因素，排除次要因素，列等式的过程就是将原来飘在空中的关系具体的落实到纸面上，让各个因子之间的关系直观的呈现在眼前，更有利于判断和决策，换句话说整个代数等价流程可以看作就是第一性原理的具体方法之一。

代数等价另一个强大之处在于变形，很多数学公式都可以通过合理的方式进行变形。通过分析数据，进行合理的拆分和组合，将原有的公式变成另外一种形态，这也是突破思维定势的最佳方案之一。

使用代数等价解决问题的过程最后呈现出来是一种分析 -> 解决 -> 在分析 -> 在解决的循环，这也让我意识到现实中的很多事情不是一步到位的，而是需要通过不断的迭代不断完善的，而这不就是互联网行业常说的小步快跑核心理念么？

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